Alla base dei divieti c’è un errore di calcolo

Come previsto dall’ultimo decreto approvato dal governo, a partire dal 15 febbraio la negatività a un tampone non sarà più sufficiente per accedere ai luoghi di lavoro, ma sarà necessario essere in possesso del cosiddetto «super green pass», ottenuto a seguito di vaccinazione o guarigione da meno di sei mesi.

Questa è solo l’ultima di una serie di misure restrittive che si sono susseguite nelle ultime settimane. Dal 10 gennaio, per esempio, pur essendo negativo al tampone ma non in possesso di super green pass, un pendolare non può più utilizzare un mezzo pubblico per recarsi al lavoro o a scuola, e a un sardo o a un siciliano è negato l’imbarco su un areo persino per far rientro alla propria residenza. Ed è ancora in vigore quanto previsto dal decretolegge «Salva Natale» secondo cui è necessario il super green pass per prendere un caffè – anche da soli – seduti a un tavolino all’aperto di un bar.

Tali provvedimenti sono stati giustificati, da parte degli esponenti del governo, con l’intento di «garantire la sicurezza sui luoghi di lavoro» e «prevenire la diffusione dell’infezione», anche sulla base della presunta scarsa attendibilità dei tamponi antigenici. Vale la pena ricordare le dichiarazioni del professor Walter Ricciardi, consulente del ministro Roberto Speranza, per il quale «i tamponi antigenici sono il punto debole, con il 30% di falsi negativi». Dello stesso avviso era il professor Guido Rasi, consulente del generale Francesco Paolo Figliuolo, per il quale «con il tampone un 30% di positivi sfugge».

Ma le cose stanno davvero così? Come si fa a valutare la «bontà» di un test diagnostico?

In questi mesi il lettore avrà spesso sentito parlare di due indicatori, noti come «sensibilità» e «specificità», i cui valori sono solitamente riportati nel foglietto di istruzioni dei tamponi. Di cosa si tratta? La sensibilità è la capacità (espressa in termini di probabilità) di trovare i positivi al tampone tra i malati, mentre la specificità quella di trovare i negativi tra i sani. Quindi una sensibilità del 100% significa che tutti gli individui infetti, sottoposti al test, hanno un tampone positivo, mentre una specificità del 100% corrisponde al fatto che tutti gli individui non infetti, sottoposti al test, abbiano un tampone negativo.

In effetti per valutare la sicurezza nei luoghi di lavoro, non è sufficiente riferirsi direttamente a questi due indicatori. Ciò che è importante verificare è che la negatività al tampone corrisponda realmente a un’assenza del virus. Questo può essere misurato dalla probabilità che un individuo con test negativo non abbia effettivamente contratto il virus.

Come tutti i matematici e gli statistici sanno bene, tale probabilità – nota come «valore predittivo negativo» – può essere facilmente calcolata utilizzando il celebre Teorema di Bayes, che ci permette di calcolare la probabilità che una certa causa abbia scatenato l’evento verificato. Si riesce in questo modo a risalire a una formula per il calcolo del valore predittivo negativo, in termini della sensibilità e specificità del tampone utilizzato e della prevalenza del virus (ossia la probabilità di contrarre il virus in un dato momento, per esempio nei giorni del «picco» di questa ondata vi erano circa 2,7 milioni di italiani positivi su una popolazione di 59,55 milioni, per una prevalenza di circa il 4,6%).

Calcoliamo per esempio il valore predittivo negativo prendendo in considerazione un tampone antigenico con i peggiori valori di sensibilità e specificità in commercio (quelli a cui probabilmente facevano riferimento le dichiarazioni di Ricciardi e Rasi): sensibilità pari al 70% e specificità pari all’85% (si noti che i tamponi comunemente in vendita nelle farmacie hanno valori ben più elevati, con una sensibilità di almeno il 90% e una specificità superiore al 98%). Ebbene, utilizzando la Formula di Bayes si ottiene che la probabilità che, ipotizzando la negatività del test, l’individuo sottoposto al tampone non abbia effettivamente contratto il virus, è di circa il 98,3%. Se inoltre l’individuo ripete il tampone dopo 48 ore, come era previsto dalla precedente normativa sul green pass sui luoghi di lavoro, tale probabilità risulta essere pari al 99,4%. E ripetendolo dopo ulteriori 48 ore, si arriva addirittura al 99,8%. Valori davvero molto elevati, e questo nonostante abbiamo utilizzato tamponi con le più scarse performance in circolazione. Valori che confliggono palesemente con le dichiarazioni dei consulenti del governo. Un plateale errore matematico, che può essere solo spiegato con il fatto che Ricciardi e Rasi abbiano frainteso il significato di «falsi negativi», invertendo causa con effetto, ossia come la probabilità che, supposto il test negativo, l’individuo abbia effettivamente il virus, che con i dati che abbiamo appena fornito è pari ad appena l’1,7%, per scendere addirittura allo 0,6% dopo due tamponi (invece del 30% dei consulenti del governo).

Questo tipo di errore è purtroppo frequente tra coloro i quali non conoscono la probabilità e la matematica (anche se dovrebbe essere ben noto agli epidemiologi). È lo stesso errore che potrebbe commettere un bambino, il quale, avendo appreso che un cane ha quattro zampe, identificasse un qualunque animale con quattro zampe con un cane.

Eppure, da un errore così clamoroso è dipesa una decisione dai risvolti sociali e sanitari tanto importanti.

Beniamino Cappelletti Montano e Monica Musio

Professori ordinari di matematica e statistica, università di Cagliari